پاسخ فعالیت صفحه 30 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 30 ریاضی دهم - بخش ۱ سلام! این فعالیت درسی در مورد **تشابه مثلث‌ها** و اثبات **ثابت بودن نسبت‌های مثلثاتی** برای یک زاویه‌ی حادّه‌ی خاص ($\hat{A}$) است. این بخش به ما کمک می‌کنه تا بفهمیم چطور سینوس، کسینوس و تانژانت تعریف می‌شن. ### **بررسی درستی تساوی $\frac{BC}{AB} = \frac{EF}{AE}$** در شکل ارائه شده، دو مثلث قائم‌الزاویه داریم: 1. **مثلث کوچک‌تر:** $\triangle ABC$ 2. **مثلث بزرگ‌تر:** $\triangle AEF$ از آنجایی که $BC$ بر $AB$ عمود است (یعنی $\hat{B} = 90^\circ$) و $EF$ بر $AE$ عمود است (یعنی $\hat{E} = 90^\circ$، چون $BC$ موازی $EF$ است و $AB$ در امتداد $AE$ است)، هر دو مثلث **قائم‌الزاویه** هستند. همچنین، هر دو مثلث در **زاویه‌ی $\hat{A}$** مشترک هستند. **نتیجه‌گیری تشابه:** چون دو زاویه از دو مثلث ($$\hat{B} = \hat{E} = 90^\circ$$ و $\hat{A}$ مشترک) با هم برابرند، پس دو مثلث **متشابه** هستند. $$\triangle ABC \sim \triangle AEF$$ (به دلیل تساوی دو زاویه $AA'$) **نوشتن نسبت اضلاع متناظر:** در مثلث‌های متشابه، نسبت اضلاع متناظر برابر است. بیایید اضلاع متناظر را پیدا کنیم: * ضلع $BC$ (روبه‌رو به $\hat{A}$) متناظر با $EF$ (روبه‌رو به $\hat{A}$). * ضلع $AB$ (مجاور $\hat{A}$) متناظر با $AE$ (مجاور $\hat{A}$). * ضلع $AC$ (وتر) متناظر با $AF$ (وتر). بنابراین، نسبت اضلاع متناظر به شکل زیر است: $$\frac{BC}{EF} = \frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AF}$$ **بررسی تساوی داده‌شده:** تساوی که باید بررسی کنیم این است: $\frac{BC}{AB} = \frac{EF}{AE}$. ما از تشابه می‌دانیم که $\frac{BC}{EF} = \frac{AB}{AE}$ برقرار است. اگر در این تناسب، **طرفین وسطین** را جابه‌جا کنیم (یعنی $EF$ و $AB$ را جابه‌جا کنیم)، به تساوی مورد نظر می‌رسیم: $$\frac{BC}{EF} = \frac{AB}{AE} \quad \xrightarrow{\text{جابه‌جایی } EF \text{ و } AB} \quad \frac{BC}{AB} = \frac{EF}{AE}$$ **پاسخ نهایی:** بله، درستی تساوی $\frac{BC}{AB} = \frac{EF}{AE}$ **تأیید می‌شود**. **مفهوم مهم:** این تساوی نشان می‌دهد که **نسبت ضلع مقابل به زاویه $\hat{A}$ به ضلع مجاور به زاویه $\hat{A}$**، صرف نظر از این که چقدر از نقطه‌ی $A$ دور شویم، **همواره ثابت** است. این نسبت ثابت، همان **تانژانت** (مماس) زاویه‌ی $\hat{A}$ است ($$\tan \hat{A} = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{ضلع مجاور}}$$).

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 30 ریاضی دهم - بخش ۲ بخش دوم این فعالیت، در واقع تعمیم همان نکته‌ی مهم از بخش اول است و مفهوم **ثابت بودن نسبت‌های مثلثاتی** را برای هر نقطه‌ای روی وتر یا امتداد آن ثابت می‌کند. ### **تکمیل جاهای خالی با رسم نقطه‌ی $M$ و عمود $MN$** طبق دستورالعمل، نقطه‌ی $M$ روی امتداد $AC$ (یا شاید منظور روی خطی باشد که $AC$ و $AF$ روی آن قرار دارند) قرار دارد و $MN$ عمود بر ضلع دیگر زاویه‌ی $A$ (که همان $AB$ یا $AE$ باشد) است. فرض می‌کنیم $N$ روی امتداد $AE$ قرار گیرد (همانند نقاط $B$ و $E$). با این کار، یک مثلث قائم‌الزاویه‌ی جدید ($$\triangle AMN$$) ایجاد می‌شود که: 1. **قائم‌الزاویه** است: $\hat{N} = 90^\circ$ 2. **زاویه‌ی مشترک** دارد: $\hat{A}$ مشترک با $\triangle ABC$ و $\triangle AEF$ **نتیجه‌گیری تشابه:** $$\triangle ABC \sim \triangle AEF \sim \triangle AMN$$ (به دلیل تساوی دو زاویه $AA'$) از این تشابه، می‌دانیم که نسبت‌های اضلاع متناظر باید با هم برابر باشند. **نوشتن نسبت‌ها برای $\triangle ABC$ و $\triangle AMN$:** $$\frac{BC \text{ (مقابل } \hat{A}) }{MN \text{ (مقابل } \hat{A}) } = \frac{AB \text{ (مجاور } \hat{A}) }{AN \text{ (مجاور } \hat{A}) } = \frac{AC \text{ (وتر)}}{AM \text{ (وتر)}}$$ ما می‌خواهیم تساوی زیر را کامل کنیم: $$\frac{BC}{AB} = \frac{MN}{\underline{\hspace{1cm}}} = \frac{\underline{\hspace{1cm}}}{AE}$$ **گام ۱: پر کردن جای خالی اول:** تساوی $\frac{BC}{AB}$ نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور ($\tan \hat{A}$) در $\triangle ABC$ است. این نسبت باید در $\triangle AMN$ نیز برابر با نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور باشد: $$\frac{BC}{AB} = \frac{MN}{\mathbf{AN}}$$ **گام ۲: پر کردن جای خالی دوم:** حالا این نسبت باید با $\frac{\underline{\hspace{1cm}}}{AE}$ برابر باشد. با توجه به بخش ۱، ما می‌دانیم که نسبت $\frac{BC}{AB}$ با $\frac{EF}{AE}$ برابر است. $$\frac{BC}{AB} = \frac{EF}{AE}$$ **تکمیل نهایی تساوی:** $$\frac{BC}{AB} = \frac{MN}{\mathbf{AN}} = \frac{\mathbf{EF}}{AE}$$ **نکته‌ی آموزشی:** این فعالیت به طور کامل نشان می‌دهد که برای یک زاویه‌ی حادّه‌ی مشخص ($\hat{A}$)، نسبت $\frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{ضلع مجاور}}$ (که **تانژانت** نام دارد)، **همیشه مقدار ثابتی** است و اصلاً مهم نیست که اندازه‌ی مثلث قائم‌الزاویه چقدر بزرگ یا کوچک باشد. این حقیقت بنیادی، پایه‌ی علم **مثلثات** است.